Média, mediana e moda contam coisas diferentes
A média soma tudo e divide pela quantidade. É a medida mais usada e a mais frágil: um único valor extremo desloca a média inteira. Numa lista de salários, um diretor entre dez estagiários puxa a média para um número que ninguém daquele grupo recebe.
A mediana é o valor do meio quando os números estão ordenados. Ela não se importa com o tamanho dos extremos, só com a posição. É por isso que renda, preço de imóvel e tempo de espera quase sempre são divulgados pela mediana, e não pela média.
A moda é o valor que mais se repete. Pode não existir, quando nada se repete, e pode haver mais de uma. É a única das três que funciona com dados que não são números — a cor mais vendida de um produto tem moda, mas não tem média.
O divisor que quase toda calculadora esconde
O desvio padrão mede o quanto os valores se afastam da média. O cálculo é o mesmo até o penúltimo passo: subtrai-se a média de cada valor, eleva-se ao quadrado e soma-se tudo. A diferença está no divisor.
Se os dados são a população inteira, divide-se por n. Se são uma amostra de algo maior, divide-se por n − 1. Essa correção tem nome — correção de Bessel — e existe porque a média usada na conta foi ela mesma estimada a partir dos dados, o que consome um grau de liberdade.
Sem a correção, a variância de uma amostra sai sistematicamente pequena demais: os dados sempre parecem menos espalhados do que a população de onde vieram. Nenhuma das duas fórmulas é 'a certa' — a certa é a que corresponde à natureza dos seus dados, e por isso esta página mostra as duas.
Variância e desvio padrão são a mesma informação
A variância é a média dos quadrados dos desvios. O desvio padrão é a raiz quadrada dela. Um é o quadrado do outro, e por isso nunca se contradizem.
O quadrado existe por uma razão específica: sem ele, os desvios para cima e para baixo se cancelariam e a soma daria sempre zero. Elevar ao quadrado torna tudo positivo e, de quebra, dá peso maior aos afastamentos grandes.
O problema do quadrado é a unidade. Se os dados estão em reais, a variância está em reais ao quadrado, que não significa nada. A raiz devolve a unidade original, e é por isso que o desvio padrão é o número que se reporta, mesmo sendo a variância a grandeza mais fundamental.
Quartis e valores atípicos
Os quartis dividem os dados ordenados em quatro partes iguais. Um quarto dos valores fica abaixo do primeiro quartil, metade fica abaixo da mediana e três quartos ficam abaixo do terceiro quartil.
A distância entre o primeiro e o terceiro quartil é o intervalo interquartil, e é onde vivem os 50% centrais dos dados. Ele é uma medida de dispersão que, como a mediana, não se abala com extremos.
A regra de Tukey trata como atípico qualquer valor a mais de uma vez e meia esse intervalo das bordas da caixa. É o critério do boxplot, e vale dizer o que ele não significa: um valor atípico não é necessariamente um erro. Pode ser variação legítima, e descartá-lo sem investigar é como fabricar o resultado que se queria.
Coeficiente de variação e erro padrão
O desvio padrão sozinho não diz se a dispersão é grande. Um desvio de 10 é enorme para uma média de 20 e desprezível para uma média de 10.000. O coeficiente de variação resolve isso dividindo o desvio pela média, e o resultado em percentual permite comparar conjuntos de escalas completamente diferentes.
O erro padrão é outra coisa, e é frequentemente confundido com o desvio padrão. Ele mede a precisão da média estimada, não a dispersão dos dados: é o desvio amostral dividido pela raiz de n.
A consequência prática é importante. Aumentar a amostra não reduz o desvio padrão — a variação dos dados é o que é —, mas reduz o erro padrão, porque a média fica mais bem estimada. Quem confunde os dois acha que coletar mais dados torna o fenômeno menos variável, e não torna.