A diferença entre as duas
Numa progressão aritmética, cada termo é o anterior mais uma constante. Em 2, 5, 8, 11, a razão é 3 e ela é somada a cada passo. O crescimento é em linha reta.
Numa progressão geométrica, cada termo é o anterior multiplicado por uma constante. Em 2, 6, 18, 54, a razão é 3 e ela é multiplicada a cada passo. O crescimento é explosivo, e é essa diferença que separa juro simples de juro composto.
Para descobrir de qual tipo é uma sequência, faça os dois testes. Se a diferença entre termos consecutivos for sempre a mesma, é PA. Se a divisão entre termos consecutivos for sempre a mesma, é PG. Se nenhum dos dois, não é progressão.
O n − 1 que todo mundo esquece
O termo geral da PA é aₙ = a₁ + (n − 1) × r, e o da PG é aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹. Em ambos aparece n − 1, e não n. É o erro mais comum da matéria.
A razão é simples: do primeiro ao enésimo termo há n − 1 passos, e não n. Para chegar ao quarto termo partindo do primeiro, você dá três passos. O primeiro termo já está lá antes de qualquer passo acontecer.
Quem esquece isso encontra sempre o termo seguinte ao pedido. Vale conferir com um caso pequeno: com a₁ = 2 e r = 3, o terceiro termo é 2 + 2×3 = 8, e não 2 + 3×3 = 11.
A soma, e o truque de Gauss
A soma dos n primeiros termos de uma PA é (a₁ + aₙ) × n ÷ 2. A fórmula vem de uma ideia atribuída a Gauss ainda criança: emparelhe o primeiro termo com o último, o segundo com o penúltimo, e assim por diante. Cada par soma exatamente o mesmo valor.
Somando 1 até 100, o par 1+100 dá 101, o par 2+99 dá 101, e há cinquenta pares. O resultado é 5.050 sem somar nada termo a termo.
Na PG a soma é a₁ × (rⁿ − 1) ÷ (r − 1), com uma exceção: quando a razão é 1, todos os termos são iguais e a fórmula cairia em divisão por zero. Nesse caso a soma é simplesmente o primeiro termo multiplicado pela quantidade.
A soma infinita que dá um número finito
Se a razão de uma PG está estritamente entre −1 e 1, cada termo é menor que o anterior, e somar infinitos termos dá um resultado finito: a₁ ÷ (1 − r). Parece contraintuitivo, e é um dos resultados mais úteis do ensino médio.
É ele que explica por que 0,999... é exatamente igual a 1, e não um pouco menos. A dízima é a soma da PG 0,9 + 0,09 + 0,009 e assim por diante, com razão 0,1, e a fórmula devolve 0,9 ÷ 0,9 = 1. Qualquer dízima periódica pode ser convertida em fração por esse caminho.
Com razão de módulo 1 ou maior, os termos não encolhem e a soma cresce sem limite. Não existe soma infinita nesse caso — e é por isso que a fórmula tem essa condição colada nela.
Onde as progressões aparecem fora da prova
Juro composto é uma PG: cada mês multiplica o saldo por 1 mais a taxa. Juro simples é uma PA: cada mês soma sempre o mesmo valor. Toda a diferença entre os dois regimes é essa, e é por isso que a curva de um é reta e a do outro sobe.
Crescimento populacional, meia-vida de material radioativo e depreciação de veículo seguem PG. Prestação de consórcio sem juros, empilhamento de caixas e degraus de escada seguem PA.
Reconhecer qual das duas descreve um problema costuma resolver metade dele, porque a fórmula certa passa a ser a única coisa que falta.