A lei dos cossenos é Pitágoras com correção
A lei dos cossenos diz que c² = a² + b² − 2ab × cos(C). Comparada com o teorema de Pitágoras, ela tem exatamente um termo a mais.
Esse termo é a correção pelo ângulo. Quando C vale 90 graus, o cosseno de 90 é zero, o termo inteiro desaparece e sobra a² + b² = c². Pitágoras não é uma lei separada: é o caso particular da lei dos cossenos quando o ângulo é reto.
Quando o ângulo é menor que 90 graus, o cosseno é positivo e o termo subtrai, deixando o lado oposto menor. Quando é maior, o cosseno é negativo e o termo soma, deixando o lado maior. A fórmula descreve isso sozinha, sem precisar de casos.
A lei dos senos e o que ela esconde
A lei dos senos diz que a ÷ sen(A) = b ÷ sen(B) = c ÷ sen(C). Cada lado dividido pelo seno do ângulo oposto dá sempre o mesmo número, dentro do mesmo triângulo.
Esse número comum não é arbitrário: ele vale o diâmetro da circunferência que passa pelos três vértices, chamada de circunferência circunscrita. É um resultado bonito e pouco lembrado.
A lei dos senos exige um par completo — um lado e o ângulo oposto a ele. Se você tem dois lados e o ângulo entre eles, não há par completo, e é preciso começar pela lei dos cossenos.
Qual das duas usar
Com os três lados conhecidos, use a lei dos cossenos isolada para o cosseno: ela devolve cada ângulo a partir dos lados. É o caso LLL.
Com dois lados e o ângulo entre eles, use a lei dos cossenos para achar o terceiro lado, e só então a dos senos para os ângulos restantes. É o caso LAL.
Com dois ângulos e um lado, some os dois ângulos e subtraia de 180 para achar o terceiro. Com todos os ângulos e um lado, a lei dos senos resolve o resto direto. É o caso ALA.
O caso ambíguo, que esta página deixa de fora
Existe um quarto caso: dois lados e um ângulo que não está entre eles. Ele tem um problema sério, e é chamado de caso ambíguo por isso.
Dependendo das medidas, podem existir dois triângulos diferentes que satisfazem exatamente os mesmos dados — um com ângulo agudo e outro com o suplementar dele. Também pode não existir nenhum.
Resolver só um dos dois em silêncio, que é o que a maioria das calculadoras faz, produz uma resposta que parece certa e pode ser a errada. Preferimos não oferecer o caso a oferecê-lo mal.
Duas fórmulas de área, e uma conferência de graça
A fórmula de Heron dá a área a partir apenas dos três lados, passando pelo semiperímetro. Ela não usa ângulo nenhum, e por isso funciona mesmo antes de qualquer trigonometria.
A outra fórmula usa dois lados e o seno do ângulo entre eles: área = a × b × sen(C) ÷ 2. Ela é a generalização de base vezes altura sobre dois, porque b × sen(C) é exatamente a altura relativa ao lado a.
Como os dois caminhos são independentes, calcular pelos dois é uma conferência real do resultado. Se derem valores diferentes além do arredondamento, algum dado está inconsistente. Esta calculadora faz as duas e compara.