O que a fórmula de Bhaskara resolve
Toda equação do segundo grau pode ser escrita na forma ax² + bx + c = 0, com a diferente de zero. Os três números que aparecem antes de x², de x e sozinho são os coeficientes, e são a única coisa que a fórmula precisa saber.
A resolução tem duas etapas. Primeiro se calcula o delta, também chamado de discriminante: Δ = b² − 4ac. Depois as raízes saem de x = (−b ± √Δ) ÷ 2a, onde o sinal de mais e o de menos geram os dois valores.
O erro mais comum não está na fórmula, está na leitura dos coeficientes. Em x² − 5x + 6 = 0, o b vale −5, e não 5: o sinal faz parte do coeficiente. Em 3x² = 12, é preciso primeiro passar tudo para um lado, chegando a 3x² − 12 = 0, com b igual a zero.
O que o delta conta antes de você calcular as raízes
O delta responde quantas raízes reais existem, antes de qualquer outra conta. Positivo, são duas raízes distintas e a parábola cruza o eixo x em dois pontos. Igual a zero, as duas raízes coincidem e a parábola apenas toca o eixo. Negativo, não há raiz real e a parábola passa inteira acima ou inteira abaixo do eixo.
Delta negativo não significa que a equação está errada nem que não tem solução. Significa que a solução não está entre os números reais. As raízes existem entre os complexos, na forma de um par conjugado, e a calculadora mostra as duas.
Quando o exercício pergunta apenas quantas raízes reais existem, o delta basta e não é preciso terminar a conta. É um atalho legítimo e economiza metade do trabalho em prova.
A parábola por trás da equação
Resolver ax² + bx + c = 0 é perguntar onde a parábola y = ax² + bx + c encontra o eixo x. As raízes são exatamente esses pontos de encontro, e é por isso que elas também aparecem chamadas de zeros da função.
O sinal de a decide para onde a parábola abre: positivo, abre para cima e o vértice é o ponto mais baixo; negativo, abre para baixo e o vértice é o ponto mais alto. Isso resolve os problemas de máximo e mínimo sem derivada nenhuma.
O vértice fica em x = −b ÷ 2a, sempre no meio do caminho entre as duas raízes, e o valor de y ali é −Δ ÷ 4a. Em problemas de lucro máximo, altura máxima de um projétil ou área máxima de um terreno, é o vértice que responde, não a raiz.
Conferir o resultado sem refazer a conta
As relações de Girard dão uma verificação independente: a soma das duas raízes é sempre −b ÷ a, e o produto é sempre c ÷ a. Se você somar as raízes encontradas e não der −b ÷ a, há erro em algum lugar.
Essa conferência é melhor do que repetir Bhaskara, porque usa um caminho diferente. Refazer a mesma fórmula tende a repetir o mesmo engano de sinal; somar e multiplicar as raízes, não.
Em x² − 5x + 6 = 0, as raízes são 3 e 2. A soma dá 5, que é −(−5) ÷ 1. O produto dá 6, que é 6 ÷ 1. Fecha nos dois, e o resultado está confirmado.