O que a potência realmente faz
Com expoente inteiro e positivo, a potência é uma multiplicação repetida: 2⁵ é 2 × 2 × 2 × 2 × 2, igual a 32. A base é o número que se repete e o expoente é quantas vezes ele aparece na multiplicação.
Essa leitura para de funcionar quando o expoente é zero, negativo ou fracionário — não existe multiplicar um número por si mesmo menos três vezes. Nesses casos, o significado vem das regras de potência, que precisam continuar valendo.
É por isso que qualquer número diferente de zero elevado a zero dá 1. Como aⁿ ÷ aⁿ vale 1, e a regra da divisão diz que aⁿ ÷ aⁿ = a⁰, os dois resultados precisam bater. Não é convenção arbitrária: é a única resposta que mantém o sistema coerente.
Expoente negativo inverte, não nega
Esta é a confusão mais frequente da matéria. 2⁻³ não vale −8: vale 0,125. O sinal negativo no expoente manda a base para o denominador, e o resultado é 1 ÷ 2³, ou seja, 1 ÷ 8.
O resultado de uma potência de expoente negativo com base positiva é sempre positivo, e sempre menor que 1 quando a base é maior que 1. Quem espera um número negativo está confundindo o sinal do expoente com o sinal da base.
Outro tropeço parecido é o menos escrito antes da potência. −2² vale −4, porque a potência age antes do sinal; (−2)² vale 4, porque o parêntese faz o sinal entrar na base. O parêntese não é enfeite, ele muda o resultado.
Raiz é potência com expoente fracionário
A raiz de índice n de um número é a mesma coisa que elevá-lo a 1/n. A raiz quadrada de 9 é 9^(1/2), e a raiz cúbica de 27 é 27^(1/3). Não são operações diferentes, são a mesma escrita de dois jeitos.
Isso explica por que a raiz herda todas as regras de potência, e é o motivo de a notação com expoente fracionário substituir o símbolo de radical a partir do ensino médio.
O índice par e o ímpar se comportam de forma diferente com número negativo. A raiz cúbica de −8 é −2, porque (−2)³ dá −8. Já a raiz quadrada de −9 não existe entre os reais, porque nenhum número real elevado ao quadrado resulta negativo.
Notação científica
Números muito grandes ou muito pequenos ficam ilegíveis escritos por extenso. A notação científica resolve isso com uma mantissa entre 1 e 10 multiplicada por uma potência de dez: a velocidade da luz vira 2,997925 × 10⁸ metros por segundo.
O expoente conta quantas casas a vírgula andou. Positivo, andou para a direita e o número é grande; negativo, andou para a esquerda e o número é pequeno. Um diâmetro de 0,00042 metro vira 4,2 × 10⁻⁴.
Multiplicar em notação científica é simples: multiplicam-se as mantissas e somam-se os expoentes. É essa propriedade que torna a notação útil em física e química, e não apenas uma forma mais curta de escrever.