Somar e subtrair exige denominador comum
Um meio mais um terço não é dois quintos. Numeradores e denominadores não se somam separadamente, porque as duas frações estão medindo pedaços de tamanhos diferentes.
O caminho é reescrever as duas com o mesmo denominador — o mínimo múltiplo comum dos dois — e só então somar os numeradores. Um meio vira três sextos, um terço vira dois sextos, e a soma é cinco sextos.
Depois de dividir a pizza em pedaços do mesmo tamanho, contar quantos você tem passa a fazer sentido. Antes disso, não fazia.
Multiplicar é mais fácil que somar
Na multiplicação não é preciso denominador comum nenhum. Multiplica-se numerador por numerador e denominador por denominador, e pronto.
É contraintuitivo para quem aprendeu que multiplicar é 'mais difícil' que somar, mas aqui a ordem se inverte. Metade de um terço é um sexto, e a conta é só 1 × 1 sobre 2 × 3.
Vale lembrar que multiplicar por uma fração menor que 1 diminui o resultado. Multiplicação nem sempre aumenta — essa é outra intuição que a fração derruba.
Dividir é multiplicar pelo inverso
Dividir por uma fração é o mesmo que multiplicar pela fração invertida. Sete quartos divididos por um meio viram sete quartos vezes dois sobre um, que dá quatorze quartos, ou sete meios.
A regra decorada é 'conserva a primeira e multiplica pelo inverso da segunda'. A razão por trás dela é que dividir por 1/2 é perguntar quantas metades cabem — e a resposta é o dobro.
É por isso que dividir por uma fração menor que 1 aumenta o resultado. Outra intuição da aritmética dos inteiros que não sobrevive às frações.
Simplificar e a forma irredutível
Uma fração está na forma irredutível quando o máximo divisor comum entre numerador e denominador é 1. Quatorze quartos viram sete meios porque ambos são divisíveis por 2.
Simplificar não muda o valor da fração, muda a forma de escrevê-la. Sete meios e quatorze quartos são o mesmo número, e o primeiro é a maneira canônica de dizê-lo.
Quando o numerador é maior que o denominador, a fração é imprópria e pode ser escrita como número misto: sete meios são três inteiros e meio.