O que cada um significa
O MDC, máximo divisor comum, é o maior número que divide todos os números da lista sem deixar resto. O MDC de 12 e 18 é 6, porque 6 divide os dois e nenhum número maior que 6 faz isso.
O MMC, mínimo múltiplo comum, é o menor número que todos eles dividem. O MMC de 12 e 18 é 36, porque 36 é múltiplo dos dois e nenhum múltiplo comum menor existe.
A confusão entre os dois some quando se olha o tamanho: o MDC nunca é maior que o menor número da lista, e o MMC nunca é menor que o maior. Se o resultado saiu fora dessas faixas, houve troca.
A fatoração em primos resolve os dois
Decompor cada número em fatores primos é o caminho que dá os dois resultados de uma vez. 12 é 2² × 3 e 18 é 2 × 3². A partir daí, as duas regras são espelhadas.
Para o MDC, pegue apenas os primos que aparecem em todos os números, cada um elevado ao menor expoente encontrado. Em 12 e 18, o 2 aparece nos dois com expoente mínimo 1, e o 3 também: 2 × 3 = 6.
Para o MMC, pegue todos os primos que aparecem em qualquer um deles, cada um elevado ao maior expoente. Aqui: 2² × 3² = 36. É a mesma decomposição, lida com o critério invertido.
Onde o MMC e o MDC aparecem de verdade
O MMC é o que se usa para somar frações de denominadores diferentes: ele é o menor denominador comum possível. Multiplicar os denominadores também funciona, mas gera números maiores e obriga a simplificar depois.
O MMC também resolve os problemas de encontro: dois ônibus que passam a cada 12 e a cada 18 minutos coincidem a cada 36 minutos. Qualquer situação com dois ciclos que se repetem cai nessa conta.
O MDC aparece ao simplificar frações — dividir numerador e denominador pelo MDC leva direto à fração irredutível — e ao repartir quantidades em grupos iguais sem sobra, como cortar duas peças de tecido de comprimentos diferentes em pedaços iguais e do maior tamanho possível.
Duas propriedades que valem guardar
Para dois números, e apenas para dois, vale que MMC × MDC é igual ao produto deles. Com 12 e 18: 36 × 6 = 216, que é 12 × 18. Serve como conferência rápida, e não se estende para três ou mais números.
Quando o MDC de dois números é 1, eles são chamados de primos entre si. Não significa que sejam primos: 8 e 9 são primos entre si e nenhum dos dois é primo. Significa apenas que não compartilham nenhum fator.
Quando um número divide o outro, os dois resultados saem sem conta: o MDC é o menor e o MMC é o maior. Com 5 e 25, o MDC é 5 e o MMC é 25.