Por que não se multiplica a taxa
A conversão correta entre períodos é (1 + i) elevado a n, menos 1. A conta que a maioria faz — multiplicar a taxa pelo número de períodos — só funcionaria se o juro de cada mês não rendesse nada nos meses seguintes.
Com 1% ao mês, ao fim de doze meses o capital não cresceu 12%: cresceu 12,68%. A diferença de 0,68 ponto vem inteira do juro que o próprio juro produziu.
E o erro cresce depressa. Com 5% ao mês, a multiplicação daria 60% ao ano, e a taxa efetiva é 79,6%. Com 12% ao mês, taxa de cartão de crédito, a multiplicação daria 144% e a efetiva é 289%.
Taxa nominal não é taxa de verdade
Quando um contrato diz '12% ao ano com capitalização mensal', ele não está informando uma taxa anual. Está informando, de forma indireta, uma taxa mensal de 1% — que é a nominal dividida linearmente pelo número de capitalizações.
A taxa anual efetiva desse contrato é 12,68%, e não 12%. O número anunciado é sempre menor que o que se paga de fato, e é justamente por isso que ele é anunciado assim.
É essa diferença que faz o custo efetivo total de um financiamento aparecer acima da taxa do anúncio. O CET é obrigatório justamente para impedir que a taxa nominal engane, e ele inclui ainda tarifas e seguros.
Como a conversão funciona por dentro
Duas taxas são equivalentes quando produzem o mesmo montante no mesmo prazo. Para converter, o caminho é passar pela taxa anual: eleva-se (1 + i) ao número de períodos que cabem em um ano, chega-se à anual, e dela se extrai a raiz do período de destino.
Converter de mês para ano é elevar a 12. Converter de ano para mês é extrair a raiz décima segunda, o mesmo que elevar a um doze avos. As duas operações são inversas exatas.
É por isso que 12% ao ano dá 0,9489% ao mês, e não 1%. Dividir 12 por 12 seria de novo a conta linear, e ela erra no mesmo sentido de sempre: para mais.
Onde isso muda decisão
Comparar investimentos exige colocar todos no mesmo período. Um CDB que rende 1,1% ao mês e outro que rende 14% ao ano parecem próximos, mas o primeiro dá 14,03% ao ano e vence por pouco — e nenhuma comparação honesta é possível antes de converter.
No crédito, a conversão desmonta o argumento do carnê. Uma loja que cobra 4% ao mês está cobrando 60,1% ao ano, e a diferença entre isso e um empréstimo de 30% ao ano é grande demais para ser ignorada.
Vale lembrar que taxa efetiva ainda não é taxa real. Descontada a inflação e, no caso de investimento, o imposto de renda, o que sobra costuma ser bem menos do que o número que aparece no anúncio.